Gola statistika je najzanimljivija knjiga o najdosadnijoj nauci

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 03:49

Ko je rekao da je statistika dosadna i beskorisna nauka? Charles Wheelan uvjerljivo tvrdi da je to daleko od slučaja. Danas objavljujemo odlomak iz njegove knjige o tome kako osvojiti auto, a ne kozu, koristeći statistiku, i shvatiti da vas intuicija može zavesti.

Monty Hall Riddle

Misterija Monty Halla je poznati problem u teoriji vjerovatnoće koji je zbunio učesnike u igrici pod nazivom Let’s Make a Deal, koja je još uvijek popularna u nekoliko zemalja, a koja je premijerno prikazana u Sjedinjenim Državama 1963. godine. (Sjećam se svaki put kada sam kao dijete gledao ovu emisiju, kada nisam išao u školu zbog bolesti.) Već sam u uvodu knjige istakao da ova igrana emisija može biti zanimljiva statističarima. Na kraju svakog izdanja, učesnik koji je stigao u finale stajao je sa Monty Hallom ispred tri velika vrata: vrata br. 1, vrata br. 2 i vrata br. 3. Monty Hall je finalisti objasnio da iza jednog od ovih vrata bila je vrlo vrijedna nagrada - na primjer novi auto i koza iza druga dva. Finalista je morao izabrati jedna od vrata i dobiti ono što je iza njih. (Ne znam da li je među učesnicima emisije bila bar jedna osoba koja je želela da dobije kozu, ali radi jednostavnosti pretpostavićemo da je velika većina učesnika sanjala o novom autu.)

Početnu vjerovatnoću pobjede je prilično lako odrediti. Ima troja vrata, dva kriju kozu, a treća auto. Kada učesnik emisije stane ispred ovih vrata sa Monti Holom, ima jednu od tri šanse da izabere vrata iza kojih se nalazi automobil. Ali, kao što je gore navedeno, postoji kvaka u Let’s Make a Deal koja je ovekovečila ovaj TV program i njegovog voditelja u literaturi o teoriji vjerovatnoće. Nakon što finalista emisije pokaže na jedna od troja vrata, Monty Hall otvara jedna od preostala dva, iza kojih se uvijek nalazi koza. Zatim Monty Hall pita finalistu da li želi da se predomisli, odnosno da napusti prethodno odabrana zatvorena vrata u korist drugih zatvorenih vrata.

Recimo, primjera radi, da je učesnik pokazao na vrata br. 1. Zatim je Monty Hall otvorio vrata br. 3, iza kojih se skrivala koza. Dvoja vrata, Vrata #1 i Vrata #2, ostaju zatvorena. Da je vrijedna nagrada bila iza vrata broj 1, finalista bi je osvojio, a da je bila iza vrata broj 2, izgubio bi. U ovom trenutku Monty Hall pita igrača da li želi promijeniti svoj prvobitni izbor (u ovom slučaju, napustiti vrata br. 1 u korist vrata br. 2). Naravno, zapamtite da su oba vrata i dalje zatvorena. Jedina nova informacija koju je učesnik dobio je da je koza završila iza jednog od dva vrata koja on nije izabrao.

Da li finalista treba da odustane od prvobitnog izbora u korist Vrata broj 2?

Odgovaram: da, trebalo bi. Ako ostane pri prvobitnom izboru, tada će vjerovatnoća da osvoji vrijednu nagradu biti ⅓; ako se predomisli i pokaže na Vrata br. 2, tada će vjerovatnoća da će osvojiti vrijednu nagradu biti ⅔. Ako mi ne verujete, čitajte dalje.

Priznajem da je ovaj odgovor na prvi pogled daleko od očiglednog. Čini se da koja god od preostala dva vrata finalista izabere, vjerovatnoća da dobije vrijednu nagradu u oba slučaja je ⅓. Ima troja zatvorena vrata. Isprva, vjerovatnoća da se iza bilo kojeg od njih krije vrijedna nagrada je ⅓. Da li odluka finaliste da promijeni svoj izbor u korist drugih zatvorenih vrata čini neku razliku?

Naravno, pošto je kvaka u tome što Monty Hall zna šta je iza svih vrata. Ako finalista odabere Vrata #1 i iza njih se zaista nalazi auto, Monty Hall može otvoriti ili Vrata #2 ili Vrata #3 da otkrije kozu koja vreba iza njih.

Ako finalista odabere vrata 1, a automobil je iza vrata 2, onda će Monty Hall otvoriti vrata 3.

Ako finalista pokaže na vrata 1, a automobil je iza vrata 3, onda će Monty Hall otvoriti vrata 2.

Promjenom mišljenja nakon što voditelj otvori jedna od vrata, finalista dobiva prednost odabira dvoja umjesto jednog. Pokušaću da vas uvjerim u ispravnost ove analize na tri različita načina.

Prvi je empirijski. Kolumnista New York Timesa John Tyerney 2008. pisao je o fenomenu Monty Halla. Nakon toga, osoblje publikacije razvilo je interaktivni program koji vam omogućava da igrate ovu igru i samostalno odlučite hoćete li promijeniti svoj prvobitni izbor ili ne. (Program čak predviđa i male koze i automobile koji se pojavljuju iza vrata.) Program bilježi dobitke u slučaju da promijenite početni izbor, te u slučaju kada ostanete neuvjereni. Platio sam jednoj od mojih ćerki da igra ovu igru 100 puta, menjajući svaki put njen prvobitni izbor. Takođe sam platio njenom bratu da igra igru 100 puta, zadržavajući prvobitnu odluku svaki put. Ćerka je pobijedila 72 puta; njenog brata 33 puta. Svaki trud nagrađen je sa dva dolara.

Dokazi iz epizoda igre Let’s Make a Deal pokazuju isti obrazac. Prema Leonardu Mlodinovu, autoru knjige The Drunkard's Walk, oni finalisti koji su promijenili svoj prvobitni izbor imali su otprilike dvostruko veće šanse za pobjedu od onih koji nisu bili uvjereni.

Moje drugo objašnjenje za ovaj fenomen zasniva se na intuiciji. Recimo da su se pravila igre malo promijenila. Na primjer, finalista počinje odabirom jedne od tri vrata: Vrata #1, Vrata #2 i Vrata #3, kako je prvobitno planirano. Međutim, tada, prije nego što otvori bilo koja od vrata, iza kojih se krije koza, Monty Hall pita: "Da li se slažete da odustanete od svog izbora u zamjenu za otvaranje dva preostala vrata?" Dakle, ako ste odabrali Vrata #1, možete se predomisliti u korist Vrata #2 i Vrata #3. Ako ste prvo pokazali na Vrata #3, možete odabrati Vrata #1 i Vrata #2. I tako dalje.

Ovo za vas ne bi bila posebno teška odluka: sasvim je očigledno da biste trebali odustati od početnog izbora u korist dva preostala vrata, jer se time povećavaju šanse za pobjedu sa ⅓ na ⅔. Najzanimljivije je da vam upravo to, u suštini, nudi Monty Hall u pravoj igri, nakon što otvori vrata iza kojih se krije koza. Osnovna činjenica je da kada bi vam se dala mogućnost da odaberete dvoja vrata, koza bi ionako bila skrivena iza jednog od njih. Kada Monty Hall otvori vrata iza kojih se nalazi koza, pa vas tek tada pita da li se slažete da promijenite svoj prvobitni izbor, to značajno povećava vaše šanse da osvojite vrijednu nagradu! U suštini, Monty Hall vam kaže: "Šanse da se vrijedna nagrada krije iza jednog od dva vrata koja niste odabrali prvi put su ⅔, što je još uvijek više od ⅓!"

Možete to zamisliti ovako. Recimo da ste pokazali na Vrata #1. Nakon toga, Monty Hall vam daje priliku da odustanete od prvobitne odluke u korist Vrata #2 i Vrata #3. Slažete se i imate dvoja vrata na raspolaganju, što znači da imate svaki razlog očekuje da osvojite vrijednu nagradu sa vjerovatnoćom od ⅔, a ne ⅓. Šta bi se dogodilo da je u ovom trenutku Monty Hall otvorio vrata 3 - jedna od "vaših" vrata - a iza njih je bila koza? Da li bi ova činjenica poljuljala vaše povjerenje u vašu odluku? Naravno da ne. Da se auto krije iza vrata 3, Monty Hall bi otvorio vrata 2! Ne bi ti ništa pokazao.

Kada se igra igra prema scenariju za odbijanje, Monty Hall vam zaista daje izbor između vrata koja ste naveli na početku i dva preostala vrata, od kojih bi jedno moglo biti automobil. Kada Monty Hall otvori vrata iza kojih se krije koza, on vam jednostavno čini uslugu pokazujući koja od druga dva vrata nisu auto. Imate iste šanse za pobjedu u oba sljedeća scenarija.

Odabir vrata br. 1, zatim pristanak na “prelazak” na vrata br. 2 i vrata br. 3 čak i prije nego što se bilo koja vrata otvore.
Odabirom Vrata #1, zatim pristajanjem na "prelazak" na Vrata #2 nakon što vam Monty Hall pokaže kozu iza Vrata #3 (ili odabirom Vrata #3 nakon što vam Monty Hall pokaže kozu iza Vrata #2).

U oba slučaja, odustajanje od prvobitne odluke daje vam prednost dvoja vrata u odnosu na jedna, i tako možete udvostručiti svoje šanse za pobjedu sa ⅓ na ⅔.

Moja treća opcija je radikalnija verzija iste osnovne intuicije. Recimo da Monty Hall od vas traži da odaberete jedno od 100 vrata (umjesto jedno od tri). Nakon što to učinite, recimo pokazujući na vrata br. 47, on otvara 98 preostalih vrata, koja će otkriti koze. Sada su samo dva vrata ostala zatvorena: vaša vrata br. 47 i druga, na primjer, vrata br. 61. Da li biste trebali odustati od svog prvobitnog izbora?

Naravno da! Postoji šansa od 99 posto da se automobil nalazi iza nekih od vrata koja niste prvo odabrali. Monty Hall vam je učinio ljubaznost otvorivši 98 ovih vrata, iza njih nije bilo automobila. Dakle, postoji samo 1 od 100 šanse da će vaš početni izbor (vrata # 47) biti ispravan. Istovremeno, postoji 99 od 100 šanse da je vaš početni izbor bio pogrešan. Ako je tako, onda se auto nalazi iza preostalih vrata, odnosno vrata br. 61. Ako želite da igrate sa vjerovatnoćom da dobijete 99 puta od 100, onda biste trebali "prebaciti" na vrata br. 61.

Ukratko, ako ikada budete morali da igrate Let’s Make a Deal, definitivno ćete morati da se povučete od svoje prvobitne odluke kada vam Monty Hall (ili onaj ko će ga zameniti) da izbor. Univerzalniji zaključak iz ovog primjera je da vas vaša intuitivna nagađanja o vjerovatnoći određenih događaja ponekad mogu dovesti u zabludu.